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高数2-排列组合概率论

gecimao 发表于 2019-07-12 17:14 | 查看: | 回复:

  高数2-排列组合概率论_数学_高中教育_教育专区。成人高考,专升本教案。

  高等数学(二)排列组合与概率论初步 ? 排列组合 ? 概率论初步 排列组合 ? ? ? ? 加法原理 乘法原理 排列 组合 加法原理 ? 完成某项工作有 n 类不同的方法,在第一 类方法中有 m1 种不同的方法,在第二类 方法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有 N = m1 + m 2 + … + mn 种不同的方法. 例1 设某日从上海到广州,有3班飞机,5班 火车,2班轮船,问从上海到广州共有多少 种不同的行程? 解: 从上海到广州共有3种不同的交通方法, 若乘飞机,有 m1 = 3 种不同的行程; 若乘火车,有 m2 = 5 种不同的行程; 若乘轮船,有 m3 = 2 种不同的行程; 所以,从上海到广州共有 N = m1 + m2 + m3 = 3 + 5 + 2 = 10 种不同的行程. 乘法原理 ? 完成某项工作必须经过 n 个步骤,第一个 步骤有 m1 种方法,第二个步骤有 m2 种方 法,……,第 n 个步骤有 mn 种方法.那 么完成这件事共有 N = m1?m2?m3?…?mn 种不同的方法. 例2 设某日从上海经大连到北京,若上海到 大连有3班飞机,4班火车,1班轮船,大连 到北京有2班飞机,3班火车,问从上海经 大连到北京,共有多少种不同的行程? 解: 从上海到大连共有 从大连到北京共有 m1 = 3 + 4 + 1 = 8 m2 = 2 + 3 = 5 种不同的行程; 种不同的行程; 所以从上海经大连到北京共有 n = m1 ? m2 = 8 ? 5 = 40 种不同的行程. 排列 从 n 个不同元素中,任取 m (1? m ? n )个元 素,按照一定的顺序排成一列,称为从 n 个 不同元素里取出 m 个元素的一个排列,所 m 有这些排列的总数记作 Pn . m ① 计算公式:Pn = n ? (n?1) ? (n?m+1); ② 当 n = m 时的排列称为 n 个不同元素的 全排列,记作 Pn = n ? (n?1) ? 2?1 = n!; ③ 规定 0!= 1 ; n! ④ 公式补充:Pn = ? n ? m?! m 例3 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的3位数? 解:从5个不同元素中取出3个元素的排列 计算 3 P5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 总共3项 从5开始 例4 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的5位数? 解:5个不同元素的全排列 5 P5 ? 5! ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 120 例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不 同的3位偶数? 解:按先排个位,再排百位和十位的顺序 排列,根据乘法原理进行计算 P P ? ? 2? ? ? 4 ? 3? ? 24 1 2 2 4 组合 从 n 个不同元素里,任取 m (1? m ? n )个元 素组成一组,叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合.从 n 个不同元素取 出 m (1? m ? n )个元素的所有组合的个数, 叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数, m 记作 C n . m n ? n ? 1 ? n ? 2 n ? m ? 1 Pn ? ? ? ? ? ? m ? 公式:C n ? m! m ? ? m ? 1? ? ? m ? 2? 2 ?1 0 规定:C n ? 1 n?m 性质:C m ? C n n 例6 从5个男生3个女生中选出3个学生组团 参加合唱比赛,有多少种不同的组团方式? 解:8个不同元素中取3个元素的组合数计 算 从8开始 8?7 ?6 ? 56 C ? 3 ? 2 ?1 3 8 总共3项 从3开始 总共3项 例7 从5个男生3个女生中选出3个学生组团 参加合唱比赛,要求选出的学生中恰好有1 个女生,有多少种不同的组团方式? 解:分两个阶段进行: 第一阶段从5个男生中选2个男生; 第二阶段从3个女生中选1个女生. 5?4 3 ? ? 30 C C ? 2 ?1 1 2 5 1 3 例8 从5个男生3个女生中选出3个学生组团 参加合唱比赛,要求选出的学生中没有1个 女生,有多少种不同的组团方式? 解:相当于从5个男生中选3个男生. 5? 4?3 ? 10 C ? 3 ? 2 ?1 3 5 例9 从5个男生3个女生中选出3个学生组团 参加合唱比赛,要求选出的学生中至少有1 个女生,有多少种不同的组团方式? 解:分三种情况考虑:一是恰有1个女生; 二是恰有2个女生;三是全是女生. 5? 4 3 5 3? 2 ? ? ? ? 1 ? 46 C C ?C C ?C ? 2 ? 1 1 1 2 ?1 2 5 1 3 1 5 2 3 3 3 也可反向思考: 一是不论女生数量;二是3个全是男生. 8?7 ?6 5? 4?3 ? ? 46 C ?C ? 3 ? 2 ? 1 3 ? 2 ?1 3 8 3 5 例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组 团参加合唱比赛,要求选出的学生中至多 有1个女生,有多少种不同的组团方式? 解:分两种情况考虑:一是没有1个女生; 二是恰有1个女生. 5? 4?3 5? 4 3 ? ? ? 40 C C ?C C ? 3 ? 2 ?1 2 ?1 1 3 5 0 3 2 5 1 3 概率论初步 ? ? ? ? 随机事件 事件的概率 条件概率、乘法公式、独立性 一维随机变量及其数字特征 ? 确定性现象 ? 随机现象 随机试验 在一定条件下必然发生某种结果的现象; 在一定条件下不能确定发生某种结果的现象. ? 随机试验 对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验: ① 相同条件下可以重复进行; ② 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前,无法预 知会发生哪一个可能的结果. 随机事件 ? 随机事件 随机试验中可能出现的结果称 为随机事件(简称事件); ? 基本事件 只包含一个试验结果,试验中 不能再分的最简单的事件称为基本事件; ? 复合事件 有两个或两个以上的基本事件 组成的事件称为复合事件; ? 必然事件 每次试验中一定会发生的事件 称为必然事件,记为?; ? 不可能事件 每次试验中一定不会发生的 事件称为不可能事件,记为?. 随机事件举例 ? 样本点 随机试验的每一种可能结果称为 该试验的一个样本点; ? 样本空间 样本点的全体组成的集合称为 这个随机试验的样本空间. ? 掷骰子随机试验 基本事件 点数为1,2,3,4,5,6 随机事件 点数为单数,双数,大于3…… 必然事件 点数小于7、点数大于0…… 不可能事件 点数大于6、点数为3.5…… 随机事件的关系和运算 ? ? ? ? ? ? ? 事件的包含 事件的相等 和事件/事件的并 积事件/事件的交 互斥事件/互不相容事件 对立事件/互逆事件 差事件 事件包含与相等 ? 事件的包含 如果事件A发生导致事件B发生,则称事件B包 含事件A,或事件A包含于事件B,记作 A?B 或者 B?A ? 事件的相等 如果事件A包含事件B,且事件B包含事件A, 则称事件A与B相等,记作A=B ? 样例 A={点数为2,4},B={点数为偶数},C={点数 不是奇数};A?B,B=C 事件的和(并)与事件的积(交) ? 和事件 两个事件A和B中至少有一个发生 的事件称为和事件,记为A+B(或A∪B); ? 积事件 两个事件A和B同时发生的事件称 为积事件,记为AB(或A∩B). ? 样例 A={点数为2,4},B={点数小于4},C={点数为 奇数},则 A+B={点数小于等于4},AB={点数为2}; B+C={点数为1,2,3,5},BC={点数为1,3} 历年试题——概率论初步之0910 任意三个随机事件 A、B、C 中至少有一个 发生的事件可表示为 ( A ) A.A∪B∪C B.A∪B∩C C.A∩B∩C D.A∩B∪C 解:因为 A∪B 表示随机事件 A、B 中至少 有一个发生的事件; 所以任意三个随机事件 A、B、C 中至 少有一个发生的事件可表示为: A∪B∪C 互斥(互不相容)事件与对立(互逆)事件 ? 互斥事件 如果事件A和B不能同时发生, 即AB=?,则称事件A和B为互斥事件; ? 对立事件 如果事件A和B为互斥事件,且 在事件A和B必有一个会发生,即AB=? 且A+B=? ,则称事件A和B为对立事件, 且称事件B是事件A的逆事件,记为A. ? 样例 A={点数为2,3},B={点数为1,4}, C={点数为奇数},D={点数为偶数},则 事件A与B、事件C与D为互斥事件; 事件C与D为对立事件,且D=C. 差事件 ? 差事件 事件A发生而事件B不发生的事件, 称为事件A与B的差事件,记作A?B或 AB. ? 样例 A={点数为2,3}, B={点数为奇数},则 A={点数为1,4,5,6},B={点数为偶数}, A?B={点数为2},AB={点数为2}; B?A={点数为1,5},BA={点数为1,5}. 事件运算规则 ? ? ? ? ? ? 交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A; 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 分配律 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); 对偶律 A∪B=A∩B,A∩B=A∪B. – 样例 某零件合格标准为长度和直径均合格, 记A={长度合格},B={直径合格},则A={长 度不合格},B={直径不合格}. 事件的概率 ? 事件的频率 在相同条件下进行n次重复试验,事件A发生的 次数k与试验次数n的比值,称其为事件A发生 的频率 ? 事件的概率 当随机试验次数n趋于无穷时,事件A发生的频 率趋于一个稳定的常数p,称其为事件A发生的 概率,记作P(A),即P(A)=p. 古典概型 ? 如果试验具有如下两个条件: 1. 有限性 每次试验只有有限种可能的试验结 果,即样本空间包含有限个样本点; 2. 等可能性 每次试验中,每个基本事件出现 的可能性完全相同. 具有上述两个特点的试验称为“古典概型”; ? 概率的古典定义 在古典概型中,若样本空间中的基本事件总数 为n,事件A由其中m个基本事件组成,则 P(A) = ————————— = — 试验的基本事件总数 n 事件A包含的基本事件数 m 概率的基本性质与加法公式 性质1 对任一事件,有0?P(A)?1, 特别地,P(?)=1,P(?)=0; 性质2 若A?B,则P(A)?P(B),且 P(B?A)=P(B)?P(A) 性质3 加法公式,任意事件A和B,均有 P(A∪B)=P(A)+P(B) ?P(A∩B) 或 P(A+B)=P(A)+P(B) ?P(AB) 推论1 若AB=?,则P(A+B)=P(A)+P(B) 推论2 对任一事件,均有P(A)=1?P(A) 历年试题——概率论初步之1110 随机事件A与B为互不相容事件,则 P(AB) = ( D ) A.P(A) + P(B) B.P(A)P(B) C.1 D.0 解:因为随机事件A与B为互不相容事件; 所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0 历年试题——概率论初步之0501 已知事件A的概率P(A)=0.6 ,则A的对立事 件A的概率P(A)等于 ( A ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解:P(A) = 1?P(A) = 1? 0.6 = 0.4 历年试题——概率论初步之1125 设A、B为两个随机事件,且 P(A) = 0.8, P(AB) = 0.3,求 P(A?B). 解: 因为 (A?B) ∩ AB = ? 所以 P(A?B) ? P(AB) = P(A?B?AB) = P(A) 所以 P(A?B) = P(A) ? P(AB) = 0.8 ? 0.3 = 0.5 历年试题——概率论初步之1010 袋中有8个乒乓球,其中5个白色球,3个黄 色球,从中一次任取2个乒乓球,则取出的 2个球均为白色球的概率为 ( B ) 5 A.8 5 B.14 5 C.36 5 D.56 2 解: 8个球中任取2个球,共有C8种取法; 2 5个白球中任取2个球,共有C5种取法; 所以取出的2个球均为白色球的概率为: C30C52 1 ?10 5 P= 2 = = 28 14 C8 历年试题——概率论初步之0710 五人排成一行,甲乙两人必须排在一起的 概率 P = ( B ) 1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 4 D. 5 解: 五人排成一行共有P5种不同的排法; 甲乙必须排在一起可按两个阶段进行: ① 先按甲乙两人进行排列,共有P2种; ② 将甲乙作为新元素与其余三人进行 P2 P4 2 ? 24 2 排列,共有P4种;P = = = 5 120 P5 历年试题——概率论初步之0625 甲乙两人独立地向同一目标射击,甲乙两 人击中目标的概率分别为0.8与0.5.两人各 射击一次,求至少有一人击中目标的概率. 解:设随机事件 A = {甲击中目标},B = {乙击中目标},P(A) = 0.8,P(B) = 0.5; P(A ? B) = P(A) ? P(B) ? P(AB) = 0.8 ? 0.5 ? 0.8?0.5 = 1.3 ? 0.4 = 0.9 *P(A ? B) = 1? P(A B) = 1 ? (1?0.8)(1?0.5) = 0.9 历年试题——概率论初步之0610 若随机事件A与B相互独立,而且P(A)=0.4, P(B)=0.5 ,则P(AB)= ( A ) A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.9 解:因为随机事件A与B是相互独立的, 所以P(AB) = P(A)P(B) = 0.4?0.5 = 0.2 历年试题——概率论初步之0810 已知事件A与B为相互独立事件,则P(AB) = ( D ) A.P(A) + P(B) B.P(A) ? P(B) C.P(A) + P(B) ? P(A)P(B) D.P(A)P(B) 解:因为随机事件 A 与 B 是相互独立的, 所以 P(AB) = P(A)P(B) 历年试题——概率论初步之0525 设离散型随机变量X的分布列为 X p 1 0.2 2 a 3 0.5 (1) 求常数 a 的值;(2) 求 X 的数学期望 EX. 解:(1) 因为 0.2 + a + 0.5 = 1,所以 a = 0.3; (2) 因为 EX = 1?0.2 + 2?a + 3?0.5; 所以 EX = 1?0.2 + 2?0.3 + 3?0.5 = 0.2 + 0.6 + 1.5 = 2.3 历年试题——概率论初步0725 袋子装有大小相同的12个球,其中5个白球, 7个黑球,从中任取3个球,求这3个球中至 少有一个黑球的概率. 解:设随机事件 A = {至少有一个黑球}, 则 A = {没有一个黑球}; P(A) = 1? P(A) 3 12个球中任取3个球,有C12 种取法, 3 7个白球中任取3个球,有C5种取法; 0 3 C7 C5 1 ?10 1 = P(A) = 3 = 220 22 C12 21 P(A) = 1? P(A) = 22 历年试题——概率论初步之0825 一枚均匀硬币连续抛掷3次,求3次均为正 面向上的概率. 解:显然,这是一个 n = 3 的独立重复试验, 设 X 为正面向上的次数,则 3p3q3?3 P(X=3) = C3 ?1? ?1? =? ? ? ? ?2? ?2? 1 = 8 3 0 历年试题——概率论初步之0925 有10件产品,其中8件是正品,2件是次品, 甲、乙两人先后各抽取一件产品,求甲先 抽到正品的条件下,乙抽到正品的概率. 解:设随机事件 A = {甲抽到正品}, 随机事件 B = {乙抽到正品}; 8 ?1 P(B/A) = 10 ? 1 7 = 9 历年试题——概率论初步之1025 已知离散型随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 p 0.2 0.1 0.3 a (1) 求常数 a; (2) 求 X 的数学期望 EX 和方差 DX. 解:(1) 0.2 ? 0.1 ? 0.3 ? a = 1, a = 0.4; (2) EX = 0?0.2 ? 1?0.1 ? 2?0.3 ? 3?0.4 = 1.9 EX2 = 02?0.2 ? 12?0.1 ? 22?0.3 ? 32?0.4 = 4.9 DX = EX2 ? (EX)2 = 4.9 ? 1.92 = 4.9 ? 1.92 = 1.29

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