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伽罗瓦理论

gecimao 发表于 2019-05-27 08:28 | 查看: | 回复:

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  伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代数方程的解的理论。在19世纪末以前,解方程一直是代数学的中心问题。早在古巴比伦时代,人们就会解二次方程。在许多情况下,求解的方法就相当于给出解的公式。但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式,是在公元9世纪的事。三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响,其影响几乎长达整整一个世纪。

  伽罗瓦理论是以伽罗瓦(Galois,E.)的名字命名的,用群论观点研究代数方程求解的理论.它源于代数方程的根式解问题.早在公元前几世纪,巴比伦人用配方法解二次方程之后,经历两千多年的漫长岁月,直到16世纪意大利数学家才给出三次方程的求根公式,即卡尔达诺(Cardano,G.)公式。其后,卡尔达诺的学生费拉里(Ferrari,L.)又得出四次方程的求解方法。于是,人们推断五次方程也存在根式解.许多数学家都曾尽力寻求,如欧拉(Euler,L.)、拉格朗日(Lagrange,J.-L.)、鲁菲尼(Ruffini,P.)等,但都告失败。拉格朗日首先怀疑五次方程存在根式解.直到1826年,当时年仅24岁的挪威数学家阿贝尔(Abel,N.H.)才首先证明高于4次的一般代数方程不能用根式解,同时给出一类能用根式解的方程.这类方程现称拉格朗日方程.但是,阿贝尔没有给出一个法则来判别一个高于四次的具体代数方程能否有根式解。其后不久,伽罗瓦建立了代数方程的伽罗瓦域的子域与它的伽罗瓦群的子群间的一一对应关系,证明了代数方程能用根式解的充分必要条件是其伽罗瓦群为可解群.从而彻底解决这一问题。

  1828年,年仅17岁的伽罗瓦写了“关于五次代数方程的解法问题”等两篇论文,送法国科学院但不受重视,被柯西(Cauchy,A.-L.)遗失了。1831年,伽罗瓦又完成了“关于用根式解方程的可解性条件”,院士泊松(Poisson,S.-D.)的审查意见是“完全不能理解,予以退回”.不满21岁的伽罗瓦在决斗前夕将草稿寄给他的朋友,14年后,1846年,刘维尔(Liouville,J.)在他创办的《纯粹数学和应用数学》杂志上首次发表了伽罗瓦的部分文章.第一个全面介绍伽罗瓦理论的是若尔当(Jordan,M.E.C.),他是在1870年出版的《论置换群与代数方程》一书给出的.伽罗瓦应用置换群这一工具,不仅证明一般高于四次的代数方程不能用根式求解,而且还建立了具体数字代数方程可用根式解的判别准则。应用伽罗瓦理论很容易地否定回答所谓几何三大难题。

  伽罗瓦理论在1928年已由克鲁尔(Krull,W.)推广到无限可分正规扩域上.伽罗瓦理论不仅对近代代数学产生了深远影响,也渗透到数学的其他许多分支

  经过两个多世纪,一些著名的数学家,如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等,都做了很多工作,但都未取得重大的进展。19世纪上半叶,阿贝尔高斯处理二项方程(

  为素数)的方法的启示,研究五次以上代数方程的求解问题,终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。他还发现一类能用根式求解的特殊方程。这类方程现在称为阿贝尔方程。阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性,由于他的早逝而未能完成这项工作。

  伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作),他试图找出为

  了使一个方程存在根式解,其系数所应满足的充分和必要条件。到1832年他完全解决了这个问题。在他临死的前夜,他将结果写在一封信中,留给他的一位朋友。1846年他的手稿才公开发表。伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题,他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理,这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的,后人称之为“伽罗瓦理论”。伽罗瓦理论的建立,不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究,而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

  在几乎整整一个世纪中,伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成,德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想,建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线,也是由戴德金开创的,即建立非交换环的伽罗瓦理论。1940年前后,美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论,并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。人们已经证明:这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。这样一来,一个用直尺和圆规作图的问题是否可解,就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。

  若K/F为伽罗瓦扩张,K上的F-自同构的集合构成一个群,定义为伽罗瓦群,记为Gal(K/F)。

  对于H是Gal(K/F)的子群,称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域,这是一个中间域。

  F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张,E/F是正规扩张当且仅当Gal(K/E)是Gal(K/F)的正规子群。

  在特征为0的域上,多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张伽罗瓦群可解群。

  广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图诺特方程,循环扩张,库默尔理论等内容。

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