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第二章对偶理论11ppt

gecimao 发表于 2019-07-03 23:30 | 查看: | 回复:

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  第二章LP的对偶理论(dualtheory)§对偶问题的提出§原问题与对偶问题§对偶问题的基本性质§对偶问题的经济意义影子价格§对偶单纯形法§灵敏度分析§参数线性规划§对偶问题的提出一、对偶问题的提出在理论上和实践上对偶理论都是LP中一个十分重要和有趣的概念。支持对偶理论的基本思想是每一个LP问题都存在一个与其对偶的问题原问题与对偶问题对一个实际问题从不同角度提出来并进行描述组成一对互为对偶的LP问题。在求出一个问题解的时候也同时可以得到另一个问题的解。下面通过一个例子看一下对偶问题的经济意义。例:美佳公司计划制造甲乙两种产品。已知各制造一件产品时分别占用设备A,B的台时每天可用于这两种产品的能力各售出一件时的获利能力如下表。问该公司应制造两种产品各多少件获取的利润最大?项目甲乙每天可用能力设备A设备B利润MAXZ=XX满足条件:XXXXX≥,X≥列出线性规划模型为:现从另一个角度提出问题:假定东方公司想把美佳公司(的资源)收买过来它至少应付出多大代价(底线)才能使美佳公司愿意放弃生产活动出让自己的资源?显然该企业愿意出让的条件是出让的价格不应低于同等数量资源由自己组织生产活动时获取的利润。分析:设y,y分别表示单位时间(h)设备A、设备B的出让代价则从东方公司来看希望用最小的代价把全部资源收买过来故有:minw=yy因生产一件甲产品需两种设备分别为、小时盈利元生产一件乙产品需两种设备分别为、小时盈利元。从美佳公司来看出让资源获得的利润应不少于自己组织生产获得的利润。因此有:yyyy要使收买成功双方的要求都必须满足于是得到出让资源问题的线性规划数学模型:minw=yyyyyyy,y于是我们得到两个线性规划:原问题:LP:maxZ=XXXXXXX,X对偶问题:LP:minw=yyyyyyy,y我们把LP称为LP的对偶问题若把LP看成原问题则LP就是LP的对偶问题。比较两者看有什么规律?)目标函数的目标互为相反(max,min))目标函数的系数是另一个约束条件右端的向量)约束系数矩阵是另一个的约束系数矩阵的转置)约束方程的个数与另一个的变量的个数相等)约束条件在一个问题中为“≤”在另一个问题中为“”。二、对偶问题的一般提法(对称形式下对偶问题的一般提法)看书P原问题:m种资源bi(i=…m)生产n种产品xj(j=…n)获利分别为cj(j=…n)元aij为工艺系数则原问题为Maxz=∑cjxj∑aijxj≤bi(i=…m)xj≥(j=…n)对偶问题:设将上述资源出售定价为yi(i=…m)使获得收益不低于原企业生产产品出售获得的收益则应满足Minw=∑biyi∑aijyi≥cj(j=…n)yi≥(i=…m)三、LP的对偶问题也可以从数学的角度引出来(了解)检验数为B=CBCBBB()N=CNCBBN()Y=CBB()()合到一起检验数一般形式为:=CCBBA令Y=CBB称为单纯形乘子当所有j时YACY又Z=CX=CBb’=CBBb=Yb=W,所以:minw=YbstYACY从例子看到原问题为求max对偶问题为求min因为:()对偶问题的可行解(Y=CBB)满足原问题的最优化条件()()因此对原问题来说只有最优解(X*=Bb)才是其对偶问题的可行解。()也即原问题的最优解目标函数值是它的对偶问题可行解目标函数值最小的一个。(注意对偶问题求min)(Z*=CX=CBb/=CBBb=Yb=W)()由此可知原问题目标函数的最大值对应于对偶问题的目标函数的最小值。CX*Yb(具体见第三节基本性质)一、对偶关系(对称形式)§原问题与对偶问题原问题对偶问题maxz=CXminw=YbstAXbstYACXY看书上表验证对应关系对称性:LP的原问题与对偶问题之间存在对称关系即LP对偶问题的对偶是原问题结论:LP对偶问题与原问题互为对偶。看例通过例子得出结论第一步化为对称形式下的原问题形式第二步根据对应关系写出其对偶问题第三步做一变换得到原问题。得到原问题。二、非对称形式原问题与对偶问题之间的关系看例是一个最小化问题第一步化为对称形式下的对偶问题形式(min≥变量非负)第二步引入对偶变量(根据原问题约束条件符号来设的)根据对应关系写出其对偶问题第三步变换为一般形式。设原问题的三个约束条件的对偶变量分别为y、y、y(每一个约束条件对应一个对偶变量)由此对于非对称形式原问题与对偶问题之间的关系可用下表反映:原问题(或对偶问题)对偶问题(或原问题)目标函数maxz目标函数minw资源系数价值系数价值系数资源系数变量原变量个数为n个第j个xj变量第j个xj变量,第j个xj变量无约束行约束个数为n个第j个约束取第j个约束取第j个约束取=约束条件约束条件行约束个数为m个第i个约束取第i个约束取第i个约束取=对偶变量m个第i个变量yi第i个变量yi第i个变量yi无约束变量约束条件系数矩阵AA′例:给出下列线性规划的对偶问题:MAXZ=XXXXX–XyX–XX=ystXXXyX,X,X无约束例:给出下列线性规划的对偶问题:MAXZ=XXXXX–XyX–XX=ystXXXyX,X,X无约束其对偶问题为:minw=yyyyyyXstyyyXyyy=Xy,y无约束y例:给出下列线性规划的对偶问题:minZ=XXXXX–XyXXX=ystXXXyX,X,X无约束例:给出下列线性规划的对偶问题:minZ=XXXXX–XyXXX=ystXXXyX,X,X无约束其对偶问题为:MAXw=yyyyyyxstyyyxyyy=xy,y无约束y先相同后相反先相反后相同最大化问题找其对偶问题约束条件与其对偶变量的符号相同而其变量的符号与其对应约束条件的符号相反最小化问题找其对偶问题约束条件与其对偶变量的符号相反而其变量的符号与其对应约束条件的符号相同。§对偶问题的基本性质     原问题对偶问题maxz=CXminw=YbstAXbstYACXY可行解XY本节讨论先假定原LP与对偶问题为对称形式的线性规划问题然后说明对偶问题的基本性质在非对称形式(一般形式)时也适用。性质是就对称形式提出的可行平行的推广到一般形式的问题中去只不过叙述上也要有相应的变动。、弱对偶性:CX≤YbXY是可行解(证明用到了上面两个约束条件)性质含义:极大化问题的任一可行解的目标函数值不大于对偶问题的任一可行解的目标函数值。也即:原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。已知线性规划问题:maxZ=xxxst应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于、最优性:当原问题与对偶问题均有可行解X、Y且当CX=Yb时则X、Y分别是原问题与对偶问题的最优解。(由性质证明)(隐含:两者都存在可行解则均存在最优解)已知线性规划问题:MAXZ=xxxx≤xx≤x–x≤xx≥()写出对偶问题()利用对偶问题性质证明原问题和对偶问题都存在最优解。、无界性:如果原问题(对偶问题)有无界解则对偶问题(原问题)无可行解。即原问题有可行解且目标函数值无界(可达正无穷)则其对偶问题无可行解反之对偶问题有可行解且目标函数值无界(可达负无穷)则其原问题无可行解。(性质CX≤YbYb≥CX)如果原问题无可行解时对偶问题无可行解或具有无界解对偶问题无可行解时原问题无可行解或具有无界解(原问题有可行解对偶问题无可行解则原问题有无界解)已知线性规划问题:maxZ=xxst试应用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。(无界解属于无最优解)已知线性规划问题maxZ=xxxxx≥x–xx≥xxx≥试应用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解(无界解属于无最优解)、强对偶性(对偶定理):若原问题有最优解则对偶问题也一定有最优解且目标函数值相等。证明:Z=CX=CBb/=CBBb=Yb=W根据性质Y是对偶问题最优解小结:、原问题有可行解则对偶问题:有可行解则两者均具有最优解无可行解则原问题具有无界解。、原问题无可行解则对偶问题可以无可行解或者无界解。、原问题无界解对偶问题无可行解。(无界性)、原问题有最优解对偶问题有最优解且CX=Yb。(对偶定理)、互补松弛性:变量为“”时其对应约束条件为“=”约束条件为“”时其对应对偶变量为“”(线性规划问题的约束条件与对偶变量一一对应)(一个问题的约束条件和另一个问题的变量对应一个问题的变量和另一个问题的约束条件对应)已知线性规划问题minZ=XXXXSTXXX≥XXXX≥XX≥XX≥Xj≥j=,,,已知原问题最优解为:X=(,,,)T试利用对偶性质求对偶问题的最优解。例:已知下列线性规划问题的对偶问题的最优解为(,),求该线性规划问题的最优解MAXZ=XXXXXXXXYXXXXYX,X,X,X≥解:其对偶问题为:MINW=YYYYY≥)XYY≥)XYY≥)XYY≥)XY≥,Y≥将解代入到对偶问题的四个约束条件可得*****=**=那么由互补松驰性得x=x=。再由y,y得原问题的两个约束条件均取等号这样联立方程从而:原问题的约束变为:XX=XX=解此方程得:X=X=于是原问题的最优解为:(,,,)目标函数值z=已知线性规划问题minW=XXXXXSTXXXXX≥X-XXXX≥Xj≥j=,,,,已知对偶问题最优解为:Y=Y=Z=试利用对偶性质求原问题的最优解。解:由互补松弛定理可得方程:XX=XX=解此方程组可得:X=X=所以原问题的最优解是:X=(,,,,)TZ=已知线性规划问题:其最优解为(a)求k的值(b)写出并求其对偶问题的最优解。解:先写出其对偶问题如下:由及互补松弛性质得解得小结:给出原问题的最优解其不等于的变量对应对偶问题的约束条件取“=”代入原问题约束条件为“≠”时其对应对偶变量为“”给出对偶问题的最优解其不等于的变量对应对原问题的约束条件取“=”代入对偶问题约束条件为“≠”时其对应对偶变量为“”、a、单纯形法迭代每一步同时其检验数行的相反数得到其对偶问题的一个基解(不一定基可行解)b、松弛变量、剩余变量与变量的对应关系c、互相对应的变量在一个LP中为基变量在另一个LP中为非基变量d、Z=W。(这个定理在非对称形式下有所不同)wwiwmwmwmjwnmxxjxnxnxnixnm对偶问题的变量对偶问题的松弛变量原始问题的变量原始问题的松弛变量xjwmj=wixni=(i=,,…,mj=,,…,n)在一对变量中其中一个大于另一个一定等于目标函数值原问题可行解非可行解对偶问题可行解最优Z>Zmax非可行解Z<Zmax§影子价格DP的经济解释上节性质在单纯形法的每步迭代中有目标函数对偶变量yi的意义代表对一个单位第i种资源的估价称为影子价格(shadowprice)。、影子价格不同于市场价格:b代表资源的拥有量,yi代表在资源最优利用条件下对单位资源的估价但不是市场价而是对资源在生产中做出的贡献的估价一般称为影子价格。市场价格是已知的而影子价格则与资源的利用情况有关利用的好影子价格就高反之亦然。(用到不同地方价值不一样)、影子价格是一种边际价格(对偶变量yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值)。将z对bi求偏导得这说明yi的值相当于在给定的生产条件下bi每增加一个单位的资源时目标函数z的增量。对偶问题最优解y*的经济意义:在其它条件不变的情况下单位资源的变化所引起的目标函数最优值的变化。在最优条件下,Z*=Yb,目标函数是资源量的函数。、影子价格又是一种机会成本。当市场价大于影子价格卖出资源当市场价小于影子价格买入资源组织生产。、互补松弛性的解释。∑aij﹤bi时yi=,当yi﹥时有∑aij=bi表明生产过程中如果某种资源没有得到充分利用该种资源的影子价格为当该种影子价格不为零时表示该种资源已消耗尽。判断题:()若某种资源的影子价格等于k在其他条件不变的情况下当该种资源增加个单位时相应的目标函数最大值将增加k吗?(其它资源的拥有量还足够用时)()已知yi*为某线性规划问题的对偶问题最优解中第i个分量若yi=能否肯定在有优生产计划中第i种资源一定有剩余。、单纯形法中检验数的经济意义。j=cj∑ciaij=cj∑aijyicj∑aijyicj∑aijyi、解的应用。利用影子价格可以有效控制和使用资源例如对紧缺资源的控制(择优分配)作为同类企业经济效益的评估标准通过帮助企业提高工艺和管理水平,降低资源的耗费来提高资源的影子价格。、影子价格说明了不同资源对总的经济效益产生的影响因此对企业经营管理提供一些有价值的信息:①增加哪一种资源最有利。影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力考虑增加设备就应该从影子价格高的设备入手。这样可以用较少的局部努力获得较大的整体效益②花多大代价增加该资源才最有利③衡量资源使用是否合理④告诉经营者补给紧缺资源的数量不要盲目大量补给⑤产品价格变动对资源的影响⑥售价多少。提示设备出租或原材料转让的基价。、理解时注意几点:①影子价格是针对约束条件而言的约束条件可以为资源约束也可以为产量约束这时产品的产量不超过市场需求量影子价格含义为:扩大销售对总产值的影响。②若原问题的价值系数Cj表示单位产值则yi称为影子价格若原问题的价值系数Cj表示单位利润则yi称为影子利润。③影子价格不是固定不变的当约束条件、产品利润等发生变化时有可能使影子价格发生变化。④本章分析的是在最优解的最优基没有变化的前提下进行的(其它资源够用)。即影子价格的经济含义是指资源在一定范围内增加时的情况当某种资源的增加超过了这个“一定的范围”时总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问题还将在灵敏度分析一节中讨论。对偶的经济解释、原始问题是利润最大化的生产计划问题单位产品的利润(元件)产品产量(件)总利润(元)资源限量(吨)单位产品消耗的资源(吨件)剩余的资源(吨)消耗的资源(吨)补充理解内容:、对偶问题资源限量(吨)资源价格(元吨)总利润(元)对偶问题是资源定价问题对偶问题的最优解w、w、、wm称为m种资源的影子价格(ShadowPrice)原始和对偶问题都取得最优解时最大利润maxz=miny、资源影子价格的性质影子价格越大说明这种资源越是相对紧缺影子价格越小说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余这种资源的影子价格一定等于、产品的机会成本机会成本利润差额成本、产品的差额成本(ReducedCost)、互补松弛关系的经济解释在利润最大化的生产计划中()边际利润大于的资源没有剩余()有剩余的资源边际利润等于()安排生产的产品机会成本等于利润()机会成本大于利润的产品不安排生产§对偶单纯形法从DLP的性质和前面的例子我们知道在原问题的最优单纯形表中将松弛变量的检验数的相反数代入DLP的目标函数可发现:)两个函数值相等进而发现:)检验数的相反数是DLP的最优解也就是在一个最优单纯形表中可以同时得到原问题和DLP的最优解。我们再进一步分析单纯形法:单纯形法实质上是从原LP为可行解而DLP为不可行解向DLP为可行解转化那么我们可否从DLP为可行解原LP为不可行解向原LP为可行解转化呢?于是我们就得到一个新的方法:对偶单纯形法。对偶单纯形法实质是单纯形法应用于对偶问题的计算。对偶单纯形法基本思路:允许b列出现负数而保持所有的检验数全都非正的情况下(对偶问题为可行解)进行换基迭代使b列全化成非负数(原问题为可行解)而检验数保持全非正从而得到原问题的最优解。步骤:、允许b列出现负数的情况下填初始单纯形表保持检验数行全非正。、如果b列出现某个或某几个负数则进行换基迭代:) 先定出基变量:b列中负数绝对值最大的对应的变量(Xr)) 次定入基变量:用检验数行除以第r行对应的负系数取比值最小者对应的变量(Xs)为入基变量)以ars为主元素做行初等变换:将ars化为所在列其他元素化为得到新的系数矩阵填新的单纯形表。、重复直到b列中无负数而所有j全非正从而得最优解。例:用对偶单纯形法求解下列线性规划minZ=XXXXXX≥stXXX≥X≥,X≥,X≥解:将问题改为如下形式:MAX(Z)=XXXXXXXXX=stXXXX=X,X,X,X,X,≥最小原始不可行对偶可行注意此处的变化进基出基基变量XXXXXbXXZ基变量XXXXXbXXZ原问题的最优解为:X=,X=,X=对偶问题的最优解为:y=¼y=基变量XXXXXbXXZ注意几点:、对偶问题有可行解(为无界解)原问题无可行解的判断:当br时对j=,…n有arj≥、用对偶单纯形法求解时当所有的约束条件为“≥”时不必引入人工变量使计算简化、在初始单纯形表其对偶问题应是基可行解这点(j目标函数系数皆为负)对多数LP很难实现因此对偶单纯形法一般不单独使用而主要用于灵敏度分析及整数规划等有关问题中、适用条件:有一个基其对应的基满足:①单纯形表的检验数行全部非正(对偶可行)②变量取值可有负数(非可行解)因此对偶单纯形法主要适合于解如下形式的线性规划问题:在引入松弛变量化为标准型之后约束等式两侧同乘能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解非常方便。对于有些线性规划模型如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正最好还是采用单纯形法求解。因为这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。从这个意义上看可以说对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。除此之外在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法可以简化计算。、规律:)看原问题如果原问题可行(b≥)用单纯形法向对偶问题可行转换)看原问题如果对偶可行()用对偶单纯形法向原问题可行转换)如果两者都不可行且线性规划是非对称的如何做?我们看下列实例(作为参考):求下列线性规划及对偶问题的最优解。minZ=XXXXXXstXXX≥XXX≥X≥,X≥,X≥=解:化为标准形MAX(Z)=XXXXXXX=stXXXX=XXXX=X,X,X,X,X,X≥两者均不可行,可先让对偶可行(让检验数),再向原问题可行转换用对偶单纯形法。基XXXXXX解XXXZ基XXXXXX解XXXZ已对偶可行,再用对偶单纯形法最优解(,,),最优值为对偶问题的最优解为:(,,)为什么基XXXXXX解XXXZ基XXXXXX解XXXZ§灵敏度分析一、定义灵敏度分析是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析(灵敏度分析又称敏感性分析或优化后分析这里就是研究最优解对数据变化的敏感程度)敏感性太强则说明最优解的稳定性程度较低。二、为什么要进行灵敏度分析线性规划研究的是一定条件下的最优化问题采用优化方案可以达到节约资源、提高效益的目的但是对“优化方案”必须要有全面的认识不可机械地对待。优化方案是建立在特定的资源环境和技术条件之上的而环境和条件总是处在不断地变化之中如产品价格、原材料成本、加工技术水平、资源消耗系数等时有波动所以优化方案是个相对稳定的概念。当基础数据发生变化时最优方案也就变了。同时基础数据往往是测算估计的数值虽然在运算过程中要求十分严格但基础数据的误差是不可避免的。为了对优化结果有更全面的了解和恰当的运用就需要进行灵敏度分析。三、所要解决的问题:两个方面、这些参数中一个或几个发生变化时问题的最优解会有什么变化、这些参数在一个多大范围内变化时问题的最优解不变。四、思路将参数的变化直接反应到最终单纯形表中看其是否为最优解如果不是从这个表开始求最优解。五、步骤、将参数的变化直接反应到最终单纯形表中具体方法:XB=Bb(b=Bb)Pj=BPj(Pj=BPj)σj=CjCBBPj(用定义求)、检查原问题是否仍为可行解:b列、检查对偶问题是否仍为可行解:检验数行、得出结论或者决定继续计算的步骤原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解仍为问题最优解可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引进人工变量编制新的单纯形表重新计算灵敏度分析的两把尺子:σj=CjCBBpj≤xB=Bb≥六、掌握五种变化、分析Cj变化的影响价值系数的灵敏度分析()价值系数Cj变化只影响检验数重新计算检验数即可。如果存在有检验数大于用单纯形法计算()Cj变化到什么程度可以保持最优基不变?变化后的检验数≤。、分析bi变化的影响资源系数的灵敏度分析()重新计算b列的值或计算变化值即可。如果存在有b<用对偶纯形法计算()bi变化到什么程度可以保持最优基不变?xB=Bb≥。注意:书上算的变化值直接算Bb的值代入也可以、增加一个变量的分析:在资源结构没有变化的条件下是否生产这种新产品就看它的竞争力如何。()Pj=BPj()检验数用定义求即可:σj=CjCBBpj=CjCBPj如果存在大于的检验数用单纯形法、分析aij变化的影响:若xj在最终单纯形表中为非基变量分析与相同若xj在最终单纯形表中为基变量,按照表的方法替换出原来系数(注意:表选择主元素时标准与以前不一样为根据具体情况硬性规定)这样其系数的变化将使相应的B和B发生变化可能出现原LP与DLP都为非可行解的情况引进人工变量(如何引?)将原问题转化为可行解再用单纯形法求解。、增加一个约束条件的分析将原LP最优解变量取值代入这个新增的约束条件如果满足新增约束条件没有起到限制作用最优解不变否则增加的约束条件起到作用将新增约束条件直接反映到最终单纯形表中再进行分析(直接引入变量进行变换对偶单纯形法或单纯形法)思考:()为什么选择为X为基变量()为什么表要变为表如何变化(新引入的变量为基变量对应列的系数要化为单位向量)注意:本节由于涉及知识点较多常作为考试题目§参数线性规划参数分析法借鉴了灵敏度分析的思想差别在于灵敏度分析中三个参数是离散型的而参数线性规划问题中它们的变化是连续型的。灵敏度分析研究参数cj与bi等改变到某一值时对问题最优解的影响如果令参数cj与bi沿某一方向连续变动则目标函数值将随参数的变动而呈线性变动Z是这个变动参数的线性函数因此称为参数线性规划。它对问题没有要求无论是原始可行还是对偶可行都无要求。它可以避免退化问题参数线性规划问题的分析步骤如下:()令=求解得最终单纯形表()将参数变化值反映到最终单纯形表中()随值的增大或减小观察原问题或对偶问题一是确定表中现有解允许值的变动范围二是当值的变动超出这个范围时看哪一个首先出现非可行解。用单纯形法或对偶单纯形法求取新的解()重复()步一直到值继续增大或缩小时表中的解不再出现变化时为止。例情况下讨论。最优解不变时用对偶单纯形法X=,X=例时表中解为最优解Z=当时Z=当时Z=当时Z=例模型可以自己建立一下()现有条件下的最优生产计划()劳动力的影子价格y=该厂招收临时工是合算的。当时Z=当时Z=因此该厂最多招收名临时工。本章作业:P:(a)(b)、、(去掉d)第二章知识点小结、由原问题写出其对偶问题、对偶问题的基本性质:弱对偶性、无界性、最优性、对偶定理、互补松弛性、原问题与对偶问题的解的对应关系(会利用这些性质解题)、影子价格的含义(理解就可以了)、对偶单纯形法、灵敏度分析(五个方面分析)、参数LP(了解)。部分课后题答案、(a)x=,x=(b)x=,x=(c)x=,x=,x=,x=x=,x=,x=(d)题目有问题(e)最优解不变、(a)当时Z=当时Z=当时Z=(c)时Z=当时Z=当时Z=、(a)a=、a=、a=、a=、a=、a=、c=、c=、c=、b=、b=(b)t(c)t、(a)x=,x=,x=(b),变化范围:,(c)σD=>,故应该生产Dx=,x=,x=,x=,z=(d)市场价格<影子价格要购进再购进个单位。得到原问题。

  很多人都会好奇,为什么中国女子怀孕,会说身怀六甲呢?原来这六甲来源“天干”,即甲子、甲寅、甲辰、甲午、甲申、甲戌六个甲日,是象征着生命起始的日子。由于天干地支这一历法与古人的生活息息相关,并被赋予了神秘的符号内容,因此成为了我们研究古人智慧及其生活方式的重要资料。

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