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欧氏几何对偶原理研究-陈传麟著pdf

gecimao 发表于 2019-07-03 23:30 | 查看: | 回复:

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  欧氏几何对偶原理研究 ———“红、黄、蓝几何”纲要 陈传麟 著 出版社 内 容 提 要 本书主要内容,一是构建及论证欧氏几何对偶原理的存在(包括三维 几何);二是该原理的应用.本书指出椭圆、双曲线、抛物线经“对偶”都可以 当做“圆”;反之,圆经“对偶”都可以当做“椭圆”,或“双曲线”,或“抛物 线”.本书还指出存在“自对偶”的图形和“互对偶”的图形,等等.欧氏几何 对偶原理的建立,使欧氏几何这棵参天古树绽开了一片新葩. 本书可作为大专院校数学系师生和中学数学教师的参考用书. 图书在版编目(CIP)数据 欧氏几何对偶原理研究/ 陈传麟著.—上海:上 海交通大学出版社,2011 ISBN978 7 313 07030 2 Ⅰ.①欧… Ⅱ.①陈… Ⅲ.①欧氏几何 对偶 研究 Ⅳ.①0184 中国版本图书馆CIP数据核字(2011)第001459号 欧氏几何对偶原理研究 陈传麟 著 出版社出版发行 (上海市番禺路951号 邮政编码200030) 电线 出版人:韩建民 昆山市亭林印刷有限责任公司印刷 全国新华书店经销 × 开本:710mm 1000mm 1/ 16 印张:20.5 字数:351千字 2011年1月第 1版 2011年1月第 1次印刷 印数:1~2030 ISBN978 7 313 07030 2/ O 定价:50.00元 版权所有 侵权必究 本书谨献给三十年后, 不,五十年后的读者. “试验、研究,而不要信仰.” ——— Rene� Descartes (1596~1650) “因此,怀疑论是走向真理的第一步.” ——— Diderot (1713~1784) “久而久之,任何东西就不能始终不变.” ——— Lamarck (1744~1829) 作 者 简 介 陈传麟,1940年5月生于上海. 1963年安徽大学数学系本科毕业. 1965年试建立欧几里得几何的对偶原理,并于当年获得成功. 序 欧几里得几何(欧氏几何)是一门古老的几何,它的基本对象是“点”和 “直线”.“点”是什么? “直线”是什么? 通常是指看得见、摸得着的点和直线, 即“有限点”和“有限直线”.而本书所说的“点”,除了“有限点”外,还包含着 “无穷远点”;本书所说的“直线”,除了“有限直线”外,还包含着“无穷远直线”. “无穷远点”在所有“点”中,是一批特殊的“点”;“无穷远直线”在所有 “直线”中,是一条特殊的“直线”,本书称前者为“假点”;称后者为“假线”. 众所周知,引进“假点”和“假线”后,射影几何就有了“对偶原理”,那么, 欧氏几何是否也有“对偶原理”呢? 长期以来人们都认为“没有”. 本书作者指出:欧氏几何也有“对偶原理”. “假线”是诸“直线”中一条特殊的“直线”,那么,对偶后就是一个特殊的 “点”,因此,本书作者指出:在欧氏几何中,应该指定一个确定的点,让它与 “假线”相对偶,称之为“标准点”. 在欧氏几何中引入“标准点”是建立欧氏几何对偶原理的成败之举,本 书作者的睿智即表现于此. 常言道:“画龙点睛.”如果把欧氏几何比作一条长龙,那么,“标准点”就 是“龙睛”,得此“睛”者得正果. 本书前半部论证了欧氏几何对偶原理的存在,后半部则是该原理的应 用,举例数百款,涉及诸多方面,包括三维空间,可谓题题精彩. 欧氏几何对偶原理的建立,为欧氏几何注入了新的活力. 本书犹如一座宝山,阅读时需要有耐心、有毅力,切勿入宝山而空返. 汪义生 2010年12 月20 日 前 言 长期以来人们都认为,只有射影几何才有“对偶原理”,而欧几里得几何 没有,原因是:欧几里得几何涉及度量,其内容远比射影几何复杂,以致没有 “对偶原理”,这是再明白不过的. 然而事实并非如此,本书论证了欧氏几何对偶原理的存在,并以大量的 应用加以佐证. 欧氏几何里有着大量的概念,它们的“对偶概念”都要逐一说明,这是必 不可少的,所以阅读本书需要相当的耐心,更何况,“对偶”本身就很“折磨” 人,没有一定的毅力,恐怕很难读完全书. 射影几何的对偶原理的使用是一次性的,而欧氏几何的对偶原理可以反 复使用,就是说,一个(真)命题,经对偶再对偶,得到的是一个更新的(真)命 题,而不是回到原来的命题.欧氏几何的对偶原理,好比一台会生产定理的 “机器”,它可以从一个定理开始,“生产”出一连串新而又新的定理,至于它 们的正确性,均毋庸置疑,盖由欧氏几何的对偶原理保证. 欧氏几何的对偶原理,使我们再一次感受到数学的至善至美,由它得出 的结论,有不少是前所未知的,相信该原理的价值会进一步体现在后续的研 究中. 本书所据资料丰厚、翔实,全书含范例500 余款,凡题皆配图,凡图必精 制,全书共附图800余幅. 数学是“数”与“形”的科学,两者互相渗透.本书侧重的是“形”,它的发 展必然会对“数”的发展有所影响,因而,本书除可供大专院校,尤其是师范 院校师生教学参考外,还可以作为科研选题,供研究用. 目 录 绪论………………………………………………………………………………… 1 第1章 红几何 ………………………………………………………………… 17 1.1 欧氏几何 ……………………………………………………………… 17 1.2 欧氏几何的研究对象 ………………………………………………… 17 1.3 “相交”和“平行” ……………………………………………………… 17 1.4 “红点”和“红线” ……………………………………………………… 18 1.5 “红线段” ……………………………………………………………… 18 1.6 “红角” ………………………………………………………………… 19 1.7 “红标准点” …………………………………………………………… 19 1.8 两个红角的相等 ……………………………………………………… 19 1.9 两条红线段的相等 …………………………………………………… 19 1.10 红几何的逻辑基础 …………………………………………………… 20 1.11 抽象的观点和集合的观点 …………………………………………… 20 1.12 红点、红线的坐标……………………………………………………… 20 1.13 红点、红线间的三种关系:“属于”、“介于”、“合于”………………… 21 1.14 “红变换” ……………………………………………………………… 22 第2章 蓝几何 ………………………………………………………………… 25 2.1 “蓝几何” ……………………………………………………………… 25 2.2 蓝几何中的“平行” …………………………………………………… 26 2.3 “蓝线段” ……………………………………………………………… 26 2.4 “蓝角” ………………………………………………………………… 26 2 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 2.5 “蓝介于” ……………………………………………………………… 27 2.6 “蓝标准点” …………………………………………………………… 27 2.7 蓝角的相等 …………………………………………………………… 27 2.8 蓝线段的长度 ………………………………………………………… 27 2.9 蓝线段的相等 ………………………………………………………… 28 2.10 蓝几何中的“合于” …………………………………………………… 28 2.11 用解析法研究蓝几何 ………………………………………………… 29 2.12 “蓝变换” ……………………………………………………………… 30 2.13 几个例子 ……………………………………………………………… 30 2.14 几个重要的问题 ……………………………………………………… 33 2.15 解决问题(1) ………………………………………………………… 33 2.16 解决问题(2) ………………………………………………………… 34 2.17 解决问题(2)(续)(蓝标准点O 在红圆锥曲线)(续)(蓝标准点O 在红圆锥曲线)(续)(蓝标准点O 在红圆锥曲线) ………………………………………………………… 40 2.21 解决问题(4) ………………………………………………………… 41 2.22 解决问题(5)(第一种情况) ………………………………………… 42 2.23 解决问题(5)(第二种情况) ………………………………………… 43 2.24 解决问题(6)(第一种情况) ………………………………………… 45 2.25 解决问题(6)(第二种情况) ………………………………………… 49 2.26 红圆锥曲线和蓝圆锥曲线 …………………………………………… 51 第3章 黄几何 ………………………………………………………………… 58 3.1 “黄几何” ……………………………………………………………… 58 3.2 “黄平行”与“黄相交” ………………………………………………… 59 3.3 “黄角”及其度量 ……………………………………………………… 59 3.4 “黄线段”及其度量 …………………………………………………… 59 3.5 黄点、黄线的“黄坐标” ……………………………………………… 60 3.6 黄几何中的“正交线性变换”(“黄变换”)…………………………… 63 目 录 3 3.7 “黄圆锥曲线” ………………………………………………………… 65 3.8 黄圆锥曲线和红圆锥曲线的关系 …………………………………… 66 3.9 红圆L所产生的黄圆锥曲线L′ ……………………………………… 71 3.10 红圆锥曲线L产生的黄圆L′ ………………………………………… 73 3.11 红、黄、蓝几何 ………………………………………………………… 77 第4章 自对偶 ………………………………………………………………… 86 4.1 自对偶构图 …………………………………………………………… 86 4.2 巴普斯定理的推广 …………………………………………………… 87 4.3 几个著名射影定理的“源头” ………………………………………… 88 4.4 一般构图(二维) ……………………………………………………… 91 4.5 一般构图(三维) ……………………………………………………… 92 4.6 复杂的构图 …………………………………………………………… 94 4.7 “降维”与“升维” ……………………………………………………… 97 4.8 “红、黄自对偶图形” ………………………………………………… 98 4.9 “红、蓝自对偶图形” ………………………………………………… 103 4.10 “黄、蓝自对偶图形” ………………………………………………… 108 4.11 “红、黄、蓝三方对偶图形” ………………………………………… 114 4.12 “蓝一维几何” ……………………………………………………… 115 第5章 互对偶………………………………………………………………… 119 5.1 矩形和菱形…………………………………………………………… 119 5.2 三角形的“外接圆”和“内切圆” …………………………………… 124 5.3 四边形的“外接圆”和“内切圆” …………………………………… 138 5.4 “等角共轭点”和“等截共轭线” …………………………………… 142 5.5 椭圆和双曲线………………………………………………………… 144 5.6 “等轴双曲线”和“等轴椭圆” ……………………………………… 154 5.7 “黄等轴双曲线”和“黄等轴椭圆” ………………………………… 157 5.8 正多面体的对偶关系………………………………………………… 159 4 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 第6章 欧氏几何对偶原理的应用…………………………………………… 162 6.1 “正对偶”和“逆对偶” ……………………………………………… 162 6.2 有关对称性的命题…………………………………………………… 170 6.3 有关一个圆的命题…………………………………………………… 180 6.4 有关两个圆的命题…………………………………………………… 187 6.5 其他命题的例子……………………………………………………… 220 6.6 “共轭三曲线” ……………………………………………………… 237 附录1 二维几何中的对偶原理 ……………………………………………… 244 附录2 三维几何中的对偶原理 ……………………………………………… 247 附录3 将红圆锥曲线视为“蓝圆锥曲线”…………………………………… 265 附录4 由红圆锥曲线产生的“黄圆锥曲线”………………………………… 285 附录5 补遗 …………………………………………………………………… 295 人名中英文对照………………………………………………………………… 310 参考文献………………………………………………………………………… 312 后记……………………………………………………………………………… 313 绪 论 众所周知,射影几何是有对偶原理的.那么,它的子几何———欧几里得几何 是否也有对偶原理呢? 本书给出的回答是:有! 0.1 引言 看得出来,解下面两道题,不会很轻松. 命题1 设椭圆和抛物线有相同的焦点F及相同的准线f ,过F作两射线,且分 别交椭圆、抛物线于A、A′和B、B′,设AB、A′B′交于P,求证:P在f 上(如图0.1). 图0.1 图0.2 命题2 设椭圆α 、双曲线α 、双曲线α 有公共的焦点F,且α 、α 、α 间 1 2 3 1 2 3 都有且仅有三个公共点,在α 、α 的三个公共点中,有一个是切点,记为 C;在 1 2 α 、α 的公共点中,有一个是切点,记为A;在α 、α 的公共点中,有一个是切点, 2 3 3 1 记为B,求证:A、B、C三点共线). 再看两个命题: 命题1′ 设两个圆α 和α 有共同的圆心 O,过 O作两射线 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 α 于A、A′和B、B′,求证:AB∥A′B′(如图0.3). 2 图0.3 图0.4 命题2′ 设三个圆α 、α 、α 两两外切,求证:它们的三条内公切线). 这后两个命题的正确性几乎是明显的. 因为前两个命题源于后两个命题,所以,由后两命题的正确,就保证前两命 题也正确,这就是前两命题的证明. 请看,这样的证明多么简单.那么,前后两命题有什么关系? 为什么后两命 题正确就保证前两命题也正确呢? 这就要说到欧几里得几何的“对偶原理” (duality principle). 0.2 射影几何的对偶原理 我们知道,在射影几何(Projective Geometry)里,将一个命题(以下均指真命 题)中所涉及的“点”和“直线”互换,形成的新命题也一定是真命题,这就是射影 几何的“对偶原理”,如巴斯加(Blaise Pascal)定理和布里安香(C.J.Brianchon)定 理就是一对对偶的命题,当然也有自身对偶的命题,如笛沙格(Girard Desargues) 定理和巴普斯(Pappus)定理(参阅第4章). 由于射影几何不涉及度量(measure),所以内容比较贫乏,其对偶原理很容 易建立. 那么,在涉及长度和角度测量(linear measure and angular measure)的欧几里 得几何中,是否也有“对偶原理”呢? 绪 论 3 0.3 历来的观点 长期以来,人们都认为欧几里得几何中“没有”对偶原理,例如,在叶菲莫夫 的《高等几何学》 一书的第368页上,作者这样说:“我们注意到,在初等几何里 没有对偶性.例如在欧几里得几何的从属关系里,点和直线就不是互相对偶的; 事实上,在欧几里得平面上,两个点总有公共的直线,但是两条直线,并不总有公 共的点(可以是平行的).在顺序关系里对偶性也不存在,那就是,欧几里得直 线上所有的点排列成线性的顺序,而线束里的射线排成轮转的顺序,还容易 说明在线段和角(这些东西在射影几何里都没有)的合同关系里有着不同, 举例说,在欧几里得平面上,有合同的边的三角形相等(注:原文这里说的 ‘相等’,是‘全等’(congruence)的意思),而有合同的角的三角形一般地却 不相等(注:不全等).” 这段文字是想说明:欧几里得几何(初等几何)没有对偶原理的“道理”,实 在是太简单、太明了,别在这件事上异想天开了. 然而事实并非如此,欧几里得几何不但有对偶原理,而且“那个世界很 精彩”. 为此,我们先弄清下面两件事. 0.4 两直线平行的定义 常见的定义是:“若两直线没有公共点,则说这两直线平行”,这种定义用了 否定词“没有”,这就掩盖了“平行”的实质. 其实,两直线平行时,也有“公共点”,它是一个“位于无穷远”、“看不见”、 “摸不着”的“点”,不妨称为“假点(imaginary point)”. 我们规定:每条直线上都有且仅有一个假点;平行直线上的假点是相同的, 不平行直线上的假点是不同的;所有的假点构成一条“假线(imaginary line)”, 记为z ;凡假点均在假线 角的度量是怎样进行的 通常认为:因为平移不会改变角的大小,所以在哪里度量一个角,其结果都 4 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 是一样的,无需什么规定,这个想法是错误的. 我们作如下规定:取一个点,记为O ,若一个角的顶点正好在 O ,那么,该 1 1 角的大小就按常规度量,该多大就多大;若一个角的顶点不在O ,那就需要作平 1 移,使其顶点移到O ,然后按常规度量.简而言之,只有顶点在O 的角,才能按常 1 1 规直接度量. 这条规定看似多余,实则极为重要. 我们把上述选定的点O 称为“标准点(standard point)”,它不仅是度量角 1 的需要,而且也是度量线 欧氏几何(欧几里得几何)的对偶几何 为统一起见,我们把欧氏几何改称为 “红几何 (Red⁃geometry 或 R⁃geometry)”. 红几何里研究的基本对象有两个:“红点”和“红线”. “红点”包括通常的点和假点,前者称“红欧点”,后者称“红假点”. “红线”包括通常的直线(但每条直线上都添加了一个红假点)和假线,前者 称“红欧线”,后者称“红假线”. 重申一遍,每条红欧线上都有一个红假点;不平行的红欧线上的红假点是不 相同的;红假点构成的集合称“红假线”;红假线只有一条. 现在把红点和红线的身份互换,即认为红点是“线”,称为“黄线”;红线是 “点”,称为“黄点”.那么,红几何的对偶几何就产生了,称为“黄几何(Yellow⁃ geometry或Y⁃geometry)”. 生活在“黄世界”(黄几何)里的居民所说的“黄点”,就是指我们平常说的红 线;那里居民所说的“黄线”,就是指我们说的红点.走进那个“世界”,会很别扭, 很不习惯,那么,这里就暂时搁下“黄几何”,先来探讨黄几何的对偶几何——— “蓝几何(Blue⁃geometry或B⁃geometry)”. 0.7 “蓝几何” 蓝几何研究的基本对象有两个:“蓝点”和“蓝线”. “蓝点”是指黄线,也就是红点. “蓝线”是指黄点,也就是红线 “点”就是点,“线”就是线,好像我们又转回了红几何,其实不然,因为在 0.4、0.5节中我们曾经指出:红几何中有一条特殊的红线———红假线 个特殊的红点———红标准点O ,所以在蓝几何中也应该有这两样东西. 1 那么,由什么来担任“假线”的角色呢? 应该说, 蓝线中任何一条都有资格,因而,我们就任选一条, 记为z (图0.5),称为“蓝假线”.注意,在红观点下, 3 这条z 是很寻常的红欧线,然而,在蓝观点下,它很 3 不寻常,它的身份相当于红假线z ,是“看不见”、 1 “摸不着”的,它在“无穷远处”. 图0.5 由什么来担任“标准点”的角色呢? 应该说,蓝 点中任何一个都有资格,但是,为方便计,我们就以红标准点 O 作为“蓝标准 1 点”,不过,改记为O . 3 z 上的蓝点称“蓝假点”(相当于红假点),不在z 上的蓝点(包括z 上的红假 3 3 1 点)称“蓝欧点”(相当于红欧点),除了z 外,其余的蓝线(包括z )称为“蓝欧 3 1 线”(相当于红欧线 中,在红观点下,l 、l 是两条相交直线(红欧线),但是在蓝观点下, 1 2 l 、l 是两条“平行直线”(“平行的蓝欧线 蓝角的度量(“蓝角度”) 在图0.6 中容易看出,蓝角α和蓝角β 是“蓝平移”关系,因而,在蓝观点下, 它们是“蓝相等”的. 我们规定,凡顶点在 O 的蓝角的大小,就以其在 3 红观点下的大小计算,例如,图0.6 中的β,其顶点恰 好在O 处,所以,在红观点下,如果它是60°,那么,在 3 蓝观点下,蓝角β 的大小也是 60°,于是与β “蓝相 等”的α,在蓝观点下也是60°.(其实,在红观点下,角 图0.6 α远不止60°) 0.9 蓝线段的度量(“蓝长度”) 在图0.7 中,两个蓝欧点A、B 所形成的“蓝线 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 段”,记为“lan(AB)”,它的“蓝长度”(也记为lan(AB))是这样规定的: O P ·AB 3 lan(AB)= , PA ·PB ·sinθ 其中O P、AB、PA、PB 都是指它们在红观点下的“红长度”,红角θ如图0.7 3 所示. 在这样的规定下,z 上的点,确实处在“无穷远”,生活在“蓝世界”的居民休 3 想走到z . 3 可以证明:蓝线段经过“蓝平移”或“蓝旋转”,都不会改变其蓝长度,还可 以证明:蓝长度具有 “可加性”,即可以证明(图0.7) + = lan(AB) lan(BC) lan(AC). (这些证明请参阅附录5 的A5.1) 0.10 “蓝三角形” 在图0.8 中,在蓝观点下,△ABC是一个“蓝三角形”,记为“lan△ABC”,它 的三条“蓝边”和三个“蓝内角”,与红观点下的理解是一致的. 图0.8 图0.9 然而,在图0.9 中,蓝观点下的lan△ABC与红观点下的理解就很不一样了, 这时的蓝三边如图0.9 中粗线条所示,蓝内角的理解也有很大的不同. 有关红三角形的结论均可对偶到蓝三角形中,例如,红三角形中,有一些关 于三线 △ABC 中,三条中线共点,称重心(barycenter). 绪 论 7 命题4 △ABC 中,三条内角平分线共点,称内心(incenter). 命题5 △ABC 中,三条高线共点,称垂心(orthocenter). 将这些结论对偶到蓝几何,那么,就有以下三个结论(均已翻译成红几何 语言). 命题3′ 过直线z 上三点P、Q、R各作两直线,且两两相交于六个点A、B、 3 C、A′、B′、C′(△ABC 内接于△A′B′C′,如图0.10所示),则三直线AA′、BB′、C C′必共点(此点记为M,称为lan△ABC的“蓝重心”). 易见,命题3′是笛沙格定理的特例. 图0.10 图0.11 命题4′ 设△ABC的三边所在的直线BC、CA、AB分别与直线 Q、R,点O 在直线z 外,∠QO R、 ∠PO R 的平分线,以及∠PO Q 的补角的平 3 3 3 3 3 分线,分别交直线z 于A′、B′、C′,则三直线AA′、BB′、CC′必共点(此点记为T, 3 称为lan△ABC 的“蓝内心”,图0.11). 命题5′ 设△ABC的三边所在的直线BC、 CA、AB 分别与直线 P、Q、R,点O 在直线z 外,在直线z 上取三点A′、B′、C′,使OA′⊥O P、O B′ 3 3 3 3 3 3 ⊥O Q、O C′⊥O R,则三直线AA′、BB′、CC′必共点(此点记为H,称为lan△A 3 3 3 BC的“蓝垂心”,图0.12). 8 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 图0.12 图0.13 在图0.13 中,过点O 作三条射线,又作不过 O 的直线z ,使与前三射线 别交于P、Q、R,过P、Q、R各作一直线,且两两相交于A、B、C,若 ∠PO R = 3 = ∠QO R 60°,则在蓝观点下,lan△ABC是“蓝等边三角形”,对于这个蓝等边 3 三角形,上述命题3′、4′、5′中的M、T、H应当重合在一起(记为O),称为该蓝 等边三角形的“蓝中心”. 现在考察图0.14,在红观点下,设点O 在△ABC 内部,连AO 交BC于A′; 3 3 连BO 交AC于B′;连CO 交AB 于C′,又连B′C′交BC于P;连A′C′交AC于Q; 3 3 连A′B′交AB 于R,则P、Q、R 三点必共线(笛沙格定理保证).这时,如果点O3 = = 是△ABC的费尔玛(Fermat,法国,1601~1665)点,即O 使 ∠AO B ∠BO C 3 3 3 = ∠COA 120°,那么,在蓝观点下(将直线PQR 当做蓝假线z ,点O 当做蓝标 3 3 3 准点),lan△ABC就是一个蓝等边三角形,O 是其蓝中心,因而,我们获得一个关 3 于费尔玛点的结论如下: 设△ABC的三内角均小于120°,该三角形的费尔玛点为O (图0.14),连A 3 O 且交BC于A′;连BO 且交AC于B′;连CO 且交AB 于C′.又连B′C′且交BC 3 3 3 于P;连C′A′且交CA 于Q;连A′B′且交AB 于R,则 ① P、Q、R 三点共线; = = ② ∠PO Q ∠QO R 60°; 3 3 ③ OP、O Q、OR分别平分∠COB′、 ∠COA′、 ∠BOA′; 3 3 3 3 3 3 ④AO ⊥PO ;BO ⊥QO ;CO ⊥RO . 3 3 3 3 3 3 在图0.14 中,O 是△ABC的费尔玛点,我们把与它相应的直线 玛线”(其中③的证明请参阅第4章的4.10). 图0.15 绪 论 9 0.11 “蓝圆”是什么样的? 能表示蓝圆的图形有很多.(参阅附录 3) 举例说,在图0.15 中,设M 是圆O 内 一点,z 是M 的极线(polar),那么,圆O就 3 可以视为“蓝圆”,M 是“蓝圆心”,z 是“蓝 3 假线 中,设 F 是椭圆的焦点 (focus),与F相应的准线(directrix)为z ,3 那么,在蓝观点下,该椭圆是一个“蓝圆”, F是其“蓝圆心”,z 是“蓝假线 不仅椭圆可以视为“圆”———“蓝圆”, 图0.14 抛物线、双曲线也都可以视为“蓝圆”.所 以,红几何中有关圆的命题(如前面0.1 中说到的命题 1′),对偶到蓝几何后,就形成了有关椭圆、抛物线、双曲线),这个新命题的 正确性是毋庸置疑的,它由欧氏几何的对偶原理保证. 0.12 “黄几何” 图0.16 黄几何是红几何的对偶几何,它研究的基本对象有 两个:“黄点”和“黄线”. “黄点”是指红线; “黄线”是指红点. 前面说过,红几何中有两件特殊的东西:“红假线”和“红标准点”,那么,黄 几何中自然也要有这两件东西.那么,由什么来担任“黄假线”呢? 应该说,凡黄 线(即红点)都有资格,所以,我们任取一个红欧点,让它担任“黄假线),它在红观点下是个普通的红欧点,但在黄观点下,它是个特殊角色, 相当于红假线z ,因而,凡过Z 的红欧线,都应该视为“黄假点”,除了这些黄假 1 2 点外,其余的红线,在黄观点下,都是“普通的”黄点,称为“黄欧点”(包括z ).还 1 10 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 有,除了黄假线Z 外,其余的红点,在黄观点下, 2 都是“普通的”黄线,称为“黄欧线”(包括所有的 红假点). 在图0.17 中,因为三点A、B、Z 共线 在黄观点下,黄欧线A、B是“黄平行”的,记为“A ∥B”. 那么,什么是“黄标准点”呢? 我们知道,之所以设立“标准点”,目的之一是 为了角度大小的度量,所以,这一次,我们没有设立“黄标准点”,而将度量角度 (包括长度)的任务直接交给了黄假线Z ,具体安排如下: 2 在图0.18 中,设A、B是直线l上的两点,介于A、B 间的点 (包括A、B 两 点,图中用粗线 欧氏几何对偶原理研究———“红、黄、蓝几何”纲要 示),在黄观点下,构成一个 “黄角”,记为“hu(AB)”,那么,该黄角的大小怎样 度量呢? 我们规定,用红观点下∠AZ B 的大小作为黄角hu (AB)的大小. 2 在图0.19 中,过点A 的两直线l 、l ,将过A 的所 1 2 有直线分成两个集合,其中阴影线部分不含黄假线 Z ,我们称其为“黄线段”,记为“hu(l l )”,它的“黄 2 1 2 长度”(也记为hu(l l ))规定为 1 2 sinα hu(l l )= , 1 2 + Z A ·sinβ ·sin(α β) 2 其中红角α、β 如图0.19所示. 图0.19 可以证明,这样的规定使“黄长度”在“黄平移” 和“黄旋转”时,具备不变性,此外,这样的规定还使“黄长度”具备“可加性”,即 可以证明(图0.19) + = hu(l l ) hu(l l ) hu(l l ). 1 2 2 3 1 3 (证明请参阅附录5 的A5.1) 0.13 “黄三角形” 在图0.20 中,设△ABC的三条边BC、CA、AB所在的直线分别为l 、l 、l , 1 2 3 = =

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