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44 对偶性原理

gecimao 发表于 2019-07-25 21:45 | 查看: | 回复:

  4.4 对偶性原理_教育学_高等教育_教育专区。Ch.4 线性系统的能控性和 能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.

  Ch.4 线性系统的能控性和 能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结 对偶性原理(1/8) 4.4 对偶性原理 重点喔! ? 本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题--对偶 性问题,以及对偶性原理在系统分析中的应用。 ? 讨论的主要问题: 1. 基本概念: 对偶性的定义 2. 对偶系统的结构特征 3. 对偶性与能控性和能观性的关系 4. 对偶性的意义 要理解 喔! 对偶性原理(2/8) ? 从前三节的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是 从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。 ? 这种相似关系可以总结成下表 能控性 控制 能观性 估计 意义 输入 状态 状态 输出 代数判据 rank[B AB … 模态判据1 模态判据2 An-1B]=n rank[Cτ AτCτ … (Aτ)n-1Cτ]=n 同一特征值的约旦 块对应C的分块的 第一列是否相关 rank[λI-Aτ Cτ]=n ?λ 同一特征值的约旦 块对应B的分块的 最后一行是否相关 rank[λI-A B]=n ?λ —对偶性定义 (3/8)— 对偶性原理(3/8) ? 这种相似关系决非偶然的巧合,而是系统内在的结构上的必 然联系。这种必然联系称为对偶性原理。 ? 下面给出对偶系统的定义。 ? 定义4-6 若给定的两个线性定常连续系统 ~ ~ ~~ ~ ′ ? x = A x + B u ? x′ = A x + Bu ? ? ~ ~~ y = C x ? ?y = C x 满足下列关系: ? = Aτ B ? = Bτ C ? = Cτ A ?, B ?,C ? )互为对偶。 ? (A 则称系统∑(A,B,C)和 Σ ? 显然,若系统∑(A,B,C)是一个r维输入,m维输出的n阶系统,则 ?, B ?,C ? ) 是一个m维输入,r维输出的n阶系统。 ? (A 其对偶系统 Σ 对偶性原理(4/8) ? 的结构图。从图中可以看出, ? 下图是对偶系统∑和 Σ ? 两系统互为对偶意 味着输入端与输出 端互换; ? 信号传递方向的相 反; ? 信号引出点和相加 点的互换,对应矩阵 的转置,以及时间的 倒转。 u B + + x′ ∫ A x C y + = Bτ =A + = τ C 对偶性原理(5/8) ? 根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论: ? 互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征 方程相同。 ? 现推证如下: ?, B ?,C ? ) ,其传递函数阵是如下r×m矩阵: ? (A ? 对于系统 Σ ~ ~ ~ -1 ~ G( s ) = C ( sI - A) B = Bτ ( sI - Aτ ) -1 C τ = [C ( sI - A) -1 B]τ = Gτ ( s ) 即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。 —定理16 (6/8)— 对偶性原理(6/8) ? 类似地,还可以得出如下结论: ? 互为对偶系统的特征方程和特征值相同。 ? 对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系,有如 下定理: ?, B ? )是互为 ? (A ?,C ? 定理4-16 设线性定常连续系统∑(A,B,C)和 Σ 对偶,则 ? 的状态能观 ? 系统∑的状态能控(能观)性等价于系统 Σ (能控)性。 —定理16 (7/8)— 对偶性原理(7/8) ? 而言,若能观性矩阵 ? 证明 对系统 Σ ~ ? ? C ? ~~ ? ~ CA ? rankQo = rank ? ? ... ? ~~ n ?1 ? ?C ? A ? ? 为状态完全能观。 的秩为n,则 Σ ? 由对偶性关系,上式又可记为 ? Bτ ? ? Bτ Aτ ? ~ ? = rank[ B AB ... An ?1 B ] = rankQc rankQo = rank ? ... ? ? ? Bτ ( Aτ ) n ?1 ? ? ? 对偶性原理(8/8) ? 的状态能观性等价于系统∑的状态能控性。 即系统 Σ ? 同理可证,系统 Σ ? 的状态能控性等价于系统∑的状态能 观性。 ? 上面讨论了线性定常连续系统的对偶性关系和对偶性原理, 对于线性时变连续系统和线性离散系统,也存在类似的对偶 性关系和对偶性原理,有兴趣的读者可参阅其他教材和文献。 ? 对偶性概念的引入使得对线性系统的分析得以大大简 化。

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