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巧用对偶原理求最值及证不等式doc

gecimao 发表于 2019-07-25 21:45 | 查看: | 回复:

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  巧用对偶原理求最值和证不等式 对偶原理在解题中的运用并不陌生,在中学数学教学中有很多地方运用了对偶原理思想。在几何中,互补的两个角是对偶的,互余的两个角是关于90度角对偶的。正与负对偶。共轭因式、共轭复数互为对偶。在分母有理化和实数化运算中,就是对偶原理的应用。运用对偶原理的关键是寻找合适的互补量、合适的互补事物。本文在求最值、证不等式中,活用对偶原理,达到出奇制胜的效果。 求最值 例1 设,求的最大值。 解:令,则就是的对偶量(函数) 此时 又 故有 所以 (当时) 例2 设函数,求的最小值。 解:先考察函数 () 由知 联想首尾配对的思想有 由图像及知 思考:已知函数,求的最小值。 证不等式 例3设为正数,,试证: 解:令 (与是一组对偶量)。 有 又 故有 所以 例4 已知且,求证: 解:令,构造对偶式 ,则有 由及知 ,即 思考;已知,求证: 提示:令, 考虑其对偶式, 由即可证之。 由上述例题看到,构造对偶量需知识、经验与灵感。如何寻找对偶量、对偶事物并无定则,只要解决问题就行,这需要靠平时经验的积累和思维的灵敏度。

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